Đường phân giác là một yếu tố quan trọng trong hình học tam giác, có nhiều ứng dụng trong chứng minh và giải toán. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ đường phân giác trong tam giác là gì, định nghĩa, tính chất, các công thức cần nhớ, định lý đường phân giác cùng những bài tập có lời giải chi tiết để dễ dàng ghi nhớ và vận dụng trong học tập cũng như các kỳ thi.
Đường phân giác trong tam giác là gì?
Đường phân giác trong tam giác là đoạn thẳng xuất phát từ một đỉnh của tam giác và chia góc tại đỉnh đó thành hai góc bằng nhau.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, nếu tia AD chia góc A thành hai góc bằng nhau: ∠BAD = ∠CAD
thì AD là đường phân giác của góc A.
Đường phân giác là một trong bốn đường đặc biệt quan trọng của tam giác, cùng với đường cao, đường trung tuyến và đường trung trực.
Cách vẽ đường phân giác trong tam giác
Để vẽ đường phân giác của một góc trong tam giác:
Bước 1: Xác định góc cần chia.
Bước 2: Dùng thước và compa (hoặc thước đo góc) để chia góc thành hai phần bằng nhau.
Bước 3: Kẻ tia đi qua đỉnh và điểm chia góc.
Giao điểm của đường phân giác với cạnh đối diện được ký hiệu là D.
Đặc điểm của đường phân giác
Đường phân giác có các đặc điểm sau:
- Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
- Ba đường phân giác luôn đồng quy tại một điểm.
- Điểm đồng quy được gọi là tâm đường tròn nội tiếp.
- Tâm đường tròn nội tiếp luôn nằm bên trong tam giác.
Tính chất của đường phân giác
1. Chia góc thành hai góc bằng nhau
Nếu AD là đường phân giác của góc A thì: ∠BAD = ∠CAD
Đây là dấu hiệu nhận biết quan trọng nhất.
2. Ba đường phân giác đồng quy
Ba đường phân giác của tam giác luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp.
Từ điểm này có thể vẽ được đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.
3. Mọi điểm trên đường phân giác cách đều hai cạnh của góc
Nếu M nằm trên đường phân giác của góc A thì khoảng cách từ M đến hai cạnh của góc A luôn bằng nhau.
Đây là tính chất thường dùng trong các bài toán chứng minh.
Định lý đường phân giác trong tam giác
Đây là định lý quan trọng nhất liên quan đến đường phân giác.
Nếu AD là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC thì: $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$
Nói cách khác:
Đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, với độ dài 3 cạnh là
- AB = 8 cm
- AC = 12 cm
- BC = 10 cm
Nếu AD là đường phân giác thì:
BD : DC = 8 : 12 = 2 : 3
Công thức tính độ dài đường phân giác
Nếu biết ba cạnh của tam giác, độ dài đường phân giác từ đỉnh A được tính theo công thức: ${l_a} = \sqrt {bc\left( {1 – \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right)} $
Trong đó:
- a là cạnh đối diện góc A.
- b và c là hai cạnh kề góc A.
- $l_a$ là độ dài đường phân giác.
Đây là công thức thường gặp trong các bài toán nâng cao.
Đường phân giác trong các loại tam giác
Tam giác cân
Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là:
- Đường cao.
- Đường trung tuyến.
- Đường trung trực.
Tam giác đều
Trong tam giác đều:
- Ba đường phân giác bằng nhau.
- Đồng thời là ba đường cao.
- Đồng thời là ba đường trung tuyến.
- Đồng thời là ba đường trung trực.
Tam giác vuông
Tam giác vuông vẫn có ba đường phân giác.
Đường phân giác của góc vuông chia góc 90° thành hai góc 45°.
Ví dụ minh họa
Cho tam giác ABC. Biết độ dài 2 cạnh lần lượt là
- AB = 10 cm.
- AC = 15 cm.
Đường phân giác AD cắt BC tại D. Tính tỷ số BD : DC.
Giải
Theo định lý đường phân giác: BD : DC = AB : AC
= 10 : 15 = 2 : 3.
Các dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Nhận biết đường phân giác
Cho tam giác ABC.
Nếu: ∠BAD = ∠CAD
Kết luận: AD là đường phân giác.
Dạng 2: Áp dụng định lý đường phân giác
Cho tam giác ABC:
- AB = 12 cm.
- AC = 18 cm.
Tính tỷ số: BD : DC.
Đáp án: 2 : 3.
Dạng 3: Chứng minh đường phân giác
Cho AD chia góc A thành hai góc bằng nhau. Chứng minh AD là đường phân giác.
Gợi ý
Sử dụng định nghĩa đường phân giác.
Dạng 4: Chứng minh điểm nằm trên đường phân giác
Biết điểm M cách đều hai cạnh của góc A.
Chứng minh:
M thuộc đường phân giác của góc A.
So sánh đường phân giác với các đường đặc biệt khác
| Đường đặc biệt | Đặc điểm |
|---|---|
| Đường phân giác | Chia một góc thành hai góc bằng nhau |
| Đường cao | Vuông góc với cạnh đối diện |
| Đường trung tuyến | Đi qua trung điểm cạnh đối diện |
| Đường trung trực | Vuông góc tại trung điểm của một cạnh |
Những lỗi học sinh thường gặp
- Nhầm đường phân giác với đường trung tuyến.
- Áp dụng sai định lý đường phân giác.
- Nhầm tỷ lệ giữa các đoạn trên cạnh đối diện.
- Cho rằng đường phân giác luôn vuông góc với cạnh đối diện.
- Quên rằng mỗi tam giác có ba đường phân giác.
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Một tam giác có bao nhiêu đường phân giác?
Mỗi tam giác có đúng ba đường phân giác.
Ba đường phân giác cắt nhau tại đâu?
Ba đường phân giác đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp.
Đường phân giác có luôn nằm trong tam giác không?
Có. Đường phân giác trong luôn nằm bên trong tam giác.
Định lý đường phân giác phát biểu như thế nào?
Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề.
Đường phân giác có phải là đường cao không?
Không. Chỉ trong một số trường hợp đặc biệt như tam giác cân hoặc tam giác đều, đường phân giác mới đồng thời là đường cao.
Đường phân giác có dùng để vẽ đường tròn nội tiếp không?
Có. Giao điểm của ba đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
Kết luận
Đường phân giác là một trong những đường đặc biệt quan trọng của tam giác. Không chỉ chia góc thành hai phần bằng nhau, đường phân giác còn giúp xác định tâm đường tròn nội tiếp và giải nhiều bài toán về tỷ lệ, chứng minh hình học. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và định lý đường phân giác sẽ giúp học sinh học tốt hình học từ THCS đến THPT.