Hệ thức lượng trong tam giác vuông thiết lập mối quan hệ giữa cạnh và góc, là kiến thức nền tảng trong toán học và có nhiều ứng dụng thực tiễn. Các định lý và công thức này giúp giải quyết hiệu quả nhiều bài toán. Bài viết sẽ trình bày định nghĩa, công thức quan trọng và cách áp dụng.
1. Nhắc lại kiến thức
Trong bài chia sẻ trước, ta đã biết tam giác vuông là tam giác có một góc bằng \(90^\circ\). Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền (cạnh dài nhất), còn hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh góc vuông.
Trong một tam giác vuông \( \triangle ABC \):
- Góc vuông tại $\widehat A$.
- Cạnh huyền: \( BC = c \).
- Hai cạnh góc vuông: \( AB = a \) và \( AC = b \).
- Đường cao \( h \): Đường cao hạ từ đỉnh góc vuông \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \).
- Hai đoạn thẳng \( c’ \) và \( b’ \) trên cạnh huyền: \( c’ \) là đoạn từ \( B \) đến chân đường cao, \( b’ \) là đoạn từ \( C \) đến chân đường cao.
2. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Là hệ thức liên kết giữa các yếu tố của tam giác, bao gồm các cạnh, đường cao, góc và các đoạn trên cạnh huyền.
Dưới đây là các hệ thức quan trọng:
2.1 Định lý Pythagoras
Đây là hệ thức cơ bản nhất trong tam giác vuông: $ a^2 + b^2 = c^2, $ trong đó:
- \( a, b \) là hai cạnh góc vuông.
- \( c \) là cạnh huyền.
Ý nghĩa: Định lý Pythagoras cho phép tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại. Đây là nền tảng cho nhiều bài toán hình học và lượng giác.
2.2 Hệ thức liên quan đến đường cao
Đường cao \( h \) hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền có các hệ thức sau:
Liên hệ giữa đường cao và các đoạn trên cạnh huyền: $ h^2 = c’ \cdot b’, $ trong đó:
- \( h \) là đường cao.
- \( c’ \) và \( b’ \) là hai đoạn trên cạnh huyền được chia bởi đường cao.
Liên hệ giữa đường cao và các cạnh góc vuông: $ h = \frac{a \cdot b}{c}. $
Liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền: $ \frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}. $
2.3 Hệ thức liên quan đến cạnh huyền
Công thức tính đoạn trên cạnh huyền: a = b’ + c’
Liên hệ giữa các đoạn trên cạnh huyền và các cạnh góc vuông:
- c2 = a.c’
- b2 = a.b’
Bảng tóm tắt:
2.4 Hệ thức lượng liên quan đến góc
Các hàm lượng giác trong tam giác vuông được định nghĩa dựa trên các cạnh:
- $ \sin \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{a}{c}. $
- $ \cos \alpha = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \frac{b}{c}. $
- $ \tan \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{a}{b}. $
- $ \cot \alpha = \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \frac{b}{a}. $
4. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho tam giác vuông \( \triangle ABC \) có cạnh góc vuông \( a = 3 \), \( b = 4 \). Tính cạnh huyền \( c \).
Lời giải
Áp dụng định lý Pythagoras: $ c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{25} = 5. $
Bài tập 2: Cho tam giác vuông \( \triangle ABC \) có \( c = 5 \), \( a = 3 \), \( b = 4 \). Tính đường cao \( h \).
Lời giải
Áp dụng công thức: $ h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}. $
Bài tập 3: Cho tam ABC vuông tại A có AB = a. Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính AC và BC.
Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $ \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BN$
Xét tam giác ABN vuông tại A có $A{B^2} = BN.BG$ $ \Rightarrow {a^2} = \frac{2}{3}B{N^2}$ $ \Rightarrow BN = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Cũng trong tam giác ABN ta có: $A{N^2} = B{N^2} – A{B^2}$ $ = {\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} – {a^2}$ $ = \frac{{{a^2}}}{2}$ $ \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Lập luận tương tự ta dễ dàng tính được $BC = a\sqrt 3 $
Bài tập 4: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là \(1\) và \(2\). Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Lời giải
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), ta có:
\(AH^2 = BH.HC=1.2=2 \Rightarrow AH =\sqrt{2}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH, ta được:
\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} = {1^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 3 \Rightarrow AB = \sqrt 3 \)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACH, ta được:
\(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} = {2^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 4 + 2 = 6 \Rightarrow AC = \sqrt 6 \)
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là \(\sqrt 3\) và \(\sqrt 6\).
Bài tập 5. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là \(3\) và \(4\), kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Lời giải
Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) có \(AB=3,\ AC=4\). Ta cần tính \(AH,\ BH\) và \(CH\).
Áp dụng định lí Pytago cho \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), ta có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\) \(\Leftrightarrow BC^2= 3^2+4^2\) \(\Leftrightarrow BC^2=9+16=25\) \(\Leftrightarrow BC=\sqrt{25}= 5\).
Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
\(AH.BC=AB.AC\) \(\Leftrightarrow AH.5=3.4\) \(\Leftrightarrow AH=\frac{3.4}{5}=2,4\)
\(AB^2=BH.BC\) \(\Leftrightarrow 3^2=BH.5\) \(\Leftrightarrow 9=BH.5\) \(\Leftrightarrow BH=\frac{9}{5}=1,8\)
\(AC^2=CH.BC\) \(\Leftrightarrow 4^2=CH.5\) \(\Leftrightarrow 16=CH.5\) \(\Leftrightarrow CH=\frac{16}{5}=3,2\)
Bài tập 6. Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng:
a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;
b) Tổng \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).
Lời giải
a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\) \(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)
\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\)(cùng phụ với \(\widehat{CDI})\)
Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)
\(\Rightarrow DI=DL\) ( 2 cạnh tương ứng)
Vậy \(\Delta DIL\) cân tại D (đpcm).
b) Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).
Áp dụng hệ thức lượng \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\) trong tam giác vuông DKL, đường cao DC, ta có:
\(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\)(mà \(DL=DI)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\)
Do ABCD cố định nên \(DC\) không đổi, do đó \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.
Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao CK, H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho \[\widehat {AMB} = {90^0}.\] Gọi S, S1, S2 theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB, ABC và ABH. Chứng minh rằng \[S = \sqrt {{S_1}{S_2}} .\]
Lời giải
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 2a, đường cao AH. Kẻ HD ⊥ AC, HE ⊥ AB. Tìm giá trị lớn nhất của:
a) Độ dài đoạn thẳng DE.
b) Diện tích tứ giác ADHE.
Lời giải
Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một phần quan trọng của toán học, cung cấp các công cụ cần thiết để giải quyết nhiều bài toán hình học và thực tiễn. Hiểu rõ và áp dụng đúng các công thức này sẽ giúp học sinh nâng cao tư duy toán học và giải quyết hiệu quả các vấn đề trong học tập và cuộc sống. Từ định lý Pythagoras đến các hàm lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông không chỉ là kiến thức lý thuyết mà còn mang lại giá trị thực tiễn sâu sắc.