Tam giác cân là loại tam giác đặc biệt với hai cạnh bằng nhau, dễ nhận biết và mang nhiều giá trị hình học quan trọng. Loại tam giác này thường xuất hiện trong trong nhiều dạng bài tập toán học. Bài viết sẽ khám phá định nghĩa, tính chất, công thức vàng thường gặp và các dạng bài tập liên quan.
1. Định nghĩa
Một tam giác được gọi là tam giác cân nếu nó có hai cạnh bên bằng nhau.
Cụ thể:
- Trong tam giác \( \triangle ABC \), nếu \( AB = AC \), thì tam giác đó là cân tại đỉnh \( A \).
- Cạnh \( BC \) được gọi là cạnh đáy, còn \( A \) là đỉnh chính.
2. Tính chất cơ bản của tam giác cân
Là tam giác sở hữu nhiều tính chất đặc biệt, bao gồm:
2.1. Tính chất về góc
Hai góc ở đáy bằng nhau:
- Nếu \( AB = AC \), thì: $ \angle ABC = \angle ACB. $
- Tính chất này giúp xác định sự đối xứng của tam giác cân.
Tổng ba góc của tam giác cân vẫn bằng \( 180^\circ \) (tính chất chung của mọi tam giác):
– Nếu góc ở đỉnh là \( \alpha \), thì hai góc ở đáy là \( \beta \): $\alpha + 2\beta = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta = \frac{180^\circ – \alpha}{2}.$
2.2. Tính chất về đường cao, trung tuyến, phân giác và đường đối xứng
Tam giác cân có sự đặc biệt về các đường hình học:
Đường cao từ đỉnh:
- Đường cao hạ từ đỉnh của tam giác cân (ví dụ từ đỉnh \( A \) xuống cạnh đáy \( BC \)) đồng thời là:
- Đường trung tuyến (chia cạnh đáy thành hai đoạn bằng nhau).
- Đường phân giác (chia góc ở đỉnh thành hai góc bằng nhau).
- Đường trung trực của cạnh đáy.
Trục đối xứng:
– Tam giác cân có một trục đối xứng đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đáy.
2.3. Tính chất đối xứng
Do có tính đối xứng về hình dạng, nên khi gấp tam giác cân qua đường cao từ đỉnh, hai nửa tam giác sẽ trùng nhau.
3. Công thức quan trọng
3.1. Công thức tính diện tích
Diện tích tam giác cân được tính như mọi tam giác khác: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{chiều cao}.$
Nếu cạnh đáy là \( BC = a \), và chiều cao từ đỉnh \( A \) xuống đáy là \( h \), thì: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.$
Nếu biết hai cạnh bên \( AB = AC = b \) và góc ở đỉnh là \( \alpha \), diện tích còn được tính bằng: $ S = \frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \sin(\alpha). $
3.2. Công thức tính chu vi
Chu vi của tam giác cân là tổng độ dài ba cạnh: $ P = 2b + a, $ trong đó \( b \) là độ dài hai cạnh bên, và \( a \) là độ dài cạnh đáy.
3.3. Công thức tính chiều cao
Chiều cao \( h \) hạ từ đỉnh xuống đáy được tính bằng công thức: $ h = \sqrt{b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2}, $
trong đó \( b \) là cạnh bên, và \( a \) là cạnh đáy.
3.4. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp
Bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp tam giác cân được tính bằng: $r = \frac{S}{P} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h}{2b + a}.$
3.5. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác cân được tính bằng: $R = \frac{b}{2 \sin(\alpha)},$
trong đó \( \alpha \) là góc ở đỉnh.
4. Các loại tam giác cân đặc biệt
4.1. Tam giác đều
– Tam giác đều là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân, khi ba cạnh bằng nhau (\( AB = AC = BC \)).
– Tất cả các góc trong tam giác đều bằng \( 60^\circ \).
4.2. Tam giác vuông cân
- Tam giác vuông cân là tam giác vừa cân, vừa vuông, tức là có một góc vuông (\( 90^\circ \)) và hai cạnh góc vuông bằng nhau.
- Tính chất đặc biệt:
- Nếu cạnh góc vuông là \( a \), thì cạnh huyền được tính bằng: $c = a\sqrt{2}.$
- Diện tích: $S = \frac{1}{2} \cdot a^2.$
5. Các bài toán thường gặp
– Tính diện tích, chu vi khi biết các cạnh hoặc góc của tam giác.
– Chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau, hoặc chứng minh đường cao đồng thời là trung tuyến, phân giác.
– Tính cạnh huyền hoặc góc khi biết các cạnh góc vuông.
– Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác cân.
Tam giác cân là một loại tam giác cơ bản nhưng rất quan trọng trong hình học, với nhiều tính chất đặc biệt và ứng dụng thực tế. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất, các công thức liên quan và ứng dụng của tam giác cân giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán hình học phẳng và không gian.