Tam giác vuông là một trong những loại tam giác cơ bản và quan trọng trong hình học. Với đặc điểm nổi bật là có một góc vuông (\(90^\circ\)), nên nó có rất nhiều tính chất đặc biệt, công thức liên quan và ứng dụng quan trọng trong toán học, vật lý, cũng như trong đời sống thực tế. Dưới đây là toàn bộ những kiến thức quan trọng cần biết.
1. Định nghĩa
Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (\(90^\circ\)).
- Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền, và đây cũng là cạnh dài nhất.
- Hai cạnh còn lại tạo thành góc vuông được gọi là các cạnh góc vuông.
2. Tính chất cơ bản của tam giác vuông
2.1 Định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras là tính chất quan trọng nhất của tam giác vuông: $ b^2 + c^2 = a^2, $ trong đó \(a\) và \(b\) là hai cạnh góc vuông, \(c\) là cạnh huyền.
Đây là nền tảng cho rất nhiều bài toán hình học và trigonometry (lượng giác).
Hệ quả:
- \(a = \sqrt{c^2 + b^2}\): Tính cạnh huyền khi biết hai cạnh góc vuông.
- \(c = \sqrt{a^2 – b^2}\): Tính cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông.
- \(b = \sqrt{a^2 – c^2}\): Tương tự như trên.
2.2 Góc nhọn
- Hai góc nhọn còn lại của tam giác vuông có tổng bằng \(90^\circ\): $ \alpha + \beta = 90^\circ. $
- Điều này giúp xác định mối quan hệ giữa các góc trong tam giác.
2.3 Đường cao
Đường cao hạ từ góc vuông xuống cạnh huyền chia nó thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, mỗi tam giác này đều đồng dạng với tam giác ban đầu và đồng dạng với nhau.
Độ dài đường cao \(h\) được tính bằng công thức: $ h = \frac{bc}{a}, $ trong đó \(c\) và \(b\) là hai cạnh góc vuông, \(a\) là cạnh huyền.
- Hai tam giác tạo bởi đường cao và cạnh huyền đều đồng dạng với tam giác ban đầu: $ \triangle ABC \sim \triangle ABH \sim \triangle CBH. $
- Tính chất đồng dạng này thường được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ.
2.4 Trung điểm của cạnh huyền
– Trung điểm của cạnh huyền là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông.
3. Công thức quan trọng
3.1. Công thức lượng giác
Với tam giác ABC, vuông tại góc A và có góc nhọn \(\alpha\), các hàm lượng giác được định nghĩa như sau:
- Sin: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{a}{c}. $
- Cos: $ \cos(\alpha) = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \frac{b}{c}. $
- Tan: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{a}{b}. $
- Cot: $ \cot(\alpha) = \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \frac{b}{a}. $
3.2. Công thức tính diện tích
Diện tích tam giác vuông được tính bằng: $ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, $ trong đó \(a\) và \(b\) là hai cạnh góc vuông.
3.3. Chu vi
Chu vi của tam giác vuông được tính bằng: $ P = a + b + c, $ trong đó \(c\), \(b\) là hai cạnh góc vuông và \(a\) là cạnh huyền.
3.4. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp
Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác vuông được tính bằng: $ r = \frac{b + c – a}{2}. $
3.5. Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa độ dài cạnh huyền: $ R = \frac{a}{2}. $
3.6. Công thức tính đường cao
Đường cao \(h\) trong tam giác vuông được tính bằng: $ h = \sqrt{c’ \cdot b’}, $ trong đó \(c’\) và \(b’\) là các đoạn của cạnh huyền do đường cao chia thành.
4. Các định lý và hệ quả quan trọng
4.1 Định lý về đường trung tuyến
Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(c\) có độ dài: $ m = \frac{c}{2}. $
4.2 Định lý về tỉ số đồng dạng
Nếu một đường cao được hạ từ góc vuông xuống cạnh huyền, thì: $ h^2 = p \cdot q, $ trong đó \(p\) và \(q\) là các đoạn mà đường cao chia cạnh huyền thành.
5. Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
Để nhận biết một tam giác có phải vuông không thì bạn cần dựa vào 1 trong 7 dấu hiệu sau đây
- Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông.
- Tam giác có 2 góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông.
- Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh kia là tam giác vuông (định lý Pythagoras đảo).
- Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông.
- Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông.
- Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa một cạnh khác trong tam giác thì tam giác đó vuông.
- Tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi chúng có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
5. Các dạng bài toán liên quan đến tam giác vuông
Bài toán sử dụng định lý Pythagoras:
– Tính cạnh huyền hoặc cạnh góc vuông khi biết hai cạnh còn lại.
Bài toán về đường cao và đồng dạng:
– Tính đường cao hoặc các đoạn trên cạnh huyền khi biết các thông tin khác.
Bài toán lượng giác:
– Tìm giá trị của các hàm lượng giác hoặc áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác vuông.
Bài toán hình học không gian:
– Sử dụng để tính khoảng cách, chiều cao, hoặc các góc trong bài toán không gian.
Bài toán về diện tích và chu vi:
– Tính diện tích hoặc chu vi tam giác vuông khi biết các cạnh.
Bài toán thực tế:
Bài tập 1. Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố cần thiết để tính chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia sông:
Biết BB’ = 20 m, BC = 30 m và B’C’ = 40 m. Tính độ rộng x của khúc sông.
Bài tập 2. Bóng (AK) của một cột điện (MK) trên mặt đất dài 6 m. Cùng lúc đó một cột đèn giao thông (DE) cao 3 m có bóng (AE) dài 2 m. Tính chiều cao của cột điện (MK).
Bài tập 3. Một cột đèn cao 7 m có bóng trên mặt đất dài 4 m. Gần đấy có một toà nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 80 m (như hình vẽ). Em hãy cho biết toà nhà có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3,5 m.
Bài tập 4. Bóng của một tháp trên mặt đất có độ dài BC = 63 m. Cùng thời điểm đó, một cây cột DE cao 2 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 3 m. Tính chiều cao của tháp.
Bài tập 5. Một người cắm một cái cọc vuông góc với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng của ngọn cây. Biết cọc cao 1,5 m so với mặt đất, chân cọc cách gốc cây 8 m và cách bóng của đỉnh cọc 2 m. Tính chiều cao của cây.
Kiến thức về tam giác vuông bao gồm định lý Pythagoras, các công thức lượng giác, tính chất đồng dạng, công thức diện tích, chu vi, và các ứng dụng thực tế. Hiểu rõ và vận dụng linh hoạt những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời mở rộng hiểu biết về toán học và ứng dụng của nó trong cuộc sống.